Двадцатеричная система счета
Майя использовали в математике двадцатеричную систему счисления. Почему именно 20 стало основой их счета — установить уже невозможно. Но на помощь приходит простая логика.
Она подсказывает, что для древних майя сам человек стал идеальной математической моделью, которую они и взяли за единицу счета. Действительно, что может быть естественней и проще числа пальцев на руках и ногах? Между прочим, такому объяснению есть подтверждение. Слово «виналь» (так на языке майя назывался двадцатидневный месяц) этимологически связан с со словами «двадцать» и «человек». По-видимому, говоря «один человек», древние майя механически представляли себе число 20 (если, конечно, в это время речь шла о каких-то количественных единицах).
Позиционная система записи цифр
Известно, что подавляющее большинство народов мира пользуются сейчас так называемой арабской цифровой системой, созданной в Индии в V веке н.э. В соответствии с этой системой цифры стоят друг за другом от первого порядка к последующим, а именно: единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д. (вместо неуклюжей присоединительной системы у римлян). Древние майя тоже пришли к использованию позиционного принципа. Однако, в отличие от европейцев, им не у кого было заимствовать этот принцип. Они сами додумались до него, причем почти на тысячу лет раньше! Только запись цифр они вели не горизонтально (в строчку), а вертикально, снизу вверх, как бы возводя некую этажерку из цифр.
Введение в расчеты знака для нуля
Нумерация майя базировалась на трех символах. Точка обозначала единицу, линия — пятерку и стилизованно представленная улитка использовалась для обозначения нуля или номера 20.
Таким образом, цифры от 1 до 4 обозначались точками, цифра 5 — линией, число 6 — линией с точкой, число 18 — тремя линиями и тремя точками над ними и так далее. Примечательно, что знак для нуля майя ввели в расчеты на много столетий раньше, чем это сделали европейцы. Изобретение этого знака в столь отдаленные времена поднимает математический гений майя на поразительные вершины. Это означало величайший прогресс в области абстрактного мышления.
Для чего древним майя была нужна математика
Какие же вычисления производили майя? Из сообщений испанцев мы знаем, что арифметические расчеты производили купцы. Но, прежде всего, математические действия с применением многозначных чисел связаны с астрономическими вычислениями, которые лежали в основе календаря. Так, начав с конкретного (один человек — двадцать пальцев), древние майя поднялись на вершину абстрактного мышления, создав двадцатеричную систему счета и оперируя с бесконечно большими величинами! Интересно отметить, что майя были знакомы с ними не только теоретически. Вспомним, например, стелы из священного города Копана, сплошь украшенные датами. На одной из них жрецы записали начальную дату летоисчисления рода человеческого — 5041738 год до нашей эры!
Об изображении чисел 20 и 21
Проведём аналогию с десятичной системой счисления, в которой цифра 10, являясь началом второго десятка, это ноль + 1. В двадцатеричной системе майя: улитка (ноль) + точка (1) получается 20 (начало второй «двадцатки»). В нашей системе счисления значения разрядов увеличиваются справа налево. У майя числа записывались в виде вертикальной колонки и возрастание разрядов происходило снизу вверх. Таким образом, самая нижняя позиция имела разрядность единиц, следующая имела разрядность двадцаток, затем шел разряд 400 (20 х 20) и так далее. Понятно, что, например, запись числа 20 должна иметь символ нуля в разряде единиц и точку, обозначающую единицу, — в разряде двадцаток. Соответственно цифра 21 будет иметь точку в разряде единиц и точку в разряде двадцаток. Ниже приведён пример записи некоторых цифровых знаков у майя. (Все знаки от 0 до 19 — в первом «Уроке математики»). Число 20 (так же, как у нас 10) будет уже не цифрой, а двузначным числом (см. рис. вверху).
Об изображении многозначных чисел
Так как майянский счёт двадцатеричен, основан на кратных числа 20, то он представляется следующими разрядами:
9 разряд: единица равна 25 600 000 000 (20 х 1 280 000 000)
8 разряд: единица равна 1 280 000 000 (20 х 64 000 000)
7 разряд: единица равна 64 000 000 (20 х 3 200 000)
6 разряд: единица равна 3 200 000 (20 х 160 000)
5 разряд: единица равна 160 000 (20 х 8 000)
4 разряд: единица равна 8 000 (20 х 400)
3 разряд: единица равна 400 (20 х 20)
2 разряд: единица равна 20 (20 х 1)
1 разряд: единица равна 1 (1 х 1)
В диаграмме ниже проиллюстрирован принцип вертикальной записи многозначных чисел (на примере числа 562677). Другие примеры записи многозначных чисел — на верхнем рисунке.
Поняв принцип записи многозначных чисел у древних майя, нетрудно записать любое число, в том числе и 6561. Оно будет иметь 1 (точку) в разряде единиц, 8 в разряде двадцаток (8 х 20 =160) и 16 в разряде 400 (16 х 400 = 6400).
Арифметические операции
В майянской системе счисления с лёгкостью можно выполнять арифметические операции типа сложения или вычитания:
Для более сложной арифметики просто нужно помнить, что Вы переносите разряд, когда достигаете 20, как показано ниже:
Существует предположение, что такая система счисления позволяет производить умножение и деление, однако ни в одном из источников не упоминается, что майя были знакомы с такими математическими действиями. Из сообщений епископа Ланды мы знаем, что арифметические действия использовались купцами, при этом в качестве счётного материала были бобы какао, зёрна маиса или что-то подобное.
Но прежде всего двадцатеричная система счисления предназначалась для календарных расчетов.